test12

Problema

Si se cumple que:

$1 - Sen x = 8Cos x$

Obtenga el valor de:

$16 Secx - 5$


Bosquejo:

Del enunciado tenemos la ecuación:

$1 - Sen x = 8Cos x \quad ...(i)$

Elevando al cuadrado la ecuación $(i)$:

$(1 - Sen x)^2 = (8Cos x)^2 \\ \rightarrow 1^2 - 2(1)(Senx) + (Senx)^2 = 8^2 (Cos x)^2 \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 Cos^{2} x \quad ...(ii)$

Dado que

$Cos^{2} x = 1 - Sen^{2}x$

Luego de $(ii)$:

$1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 (1 - Sen^{2}x) \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ \rightarrow 1 - 2Senx + Sen^{2}x = 64 - 64 Sen^{2} x \\ 65 Sen^{2} x - 2Senx - 63 = 0$

Factorizando el polinomio:

$\begin{matrix} 65 Sen^{2} x & - 2Senx & - 63 \\ 65 Sen x & & + 63 \\ Sen x & & - 1 \end{matrix}$

				;	

$\rightarrow (65 Sen x + 63 )(Sen x - 1) = 0$


Luego, resolviendo la ecuación anterior
se observa que el $Senx$ puede tomar
2 valores.

$\textrm{Primer valor: } Senx = 1 \\ \textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65}$

Nos solicitan calcular:

$16 Secx - 5$

Luego del $\textrm{Primer valor: } Senx = 1$ ,se infiere que $x = \frac{\pi}{2}$
Sin embargo, recordemos que $Sec \frac{\pi}{2} = +\infty$
Por lo tanto lo solicitado $16 Secx - 5$ tiende a $+\infty$

Si ahora elegimos el $\textrm{Segundo valor: } Senx = -\cfrac{63}{65}$
Reemplazando en $(i)$:

$1 - Sen x = 8Cos x \\ \rightarrow 1 - \left( -\cfrac{63}{65} \right) = 8Cos x \\ \rightarrow Cos x = \cfrac{16}{65} \\ \rightarrow Sec x = \cfrac{65}{16}$

Finalmente bastará con reemplazar el valor de la $Sec x$ en $16 Secx - 5$ para obtener el valor solicitado.

Si se cumple que:

$1 - Sen x = 8Cos x$

Del enunciado tenemos la ecuación:

$1 - Sen x = 8Cos x$